1 . 已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：的前项和.

2 . 已知数列的前项积．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：．

3 . 设数列满足.
(1)证明：为等差数列；
(2)若数列的前项和为，证明：.

4 . 正项数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.

5 . 已知数列的各项均为正数，，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：当取得最大值时，．

6 . 若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系.
(1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系；
(2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围；
(3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：.

7 . 若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时．
(1)求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
(2)，求．

8 . 已知等比数列的前项和为，，且成等差数列.
(1)求；
(2)设，是数列的前项和，求；
(3)设，是的前项的积，求证：（为正整数）.

9 . 已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．

10 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：.