1 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，离心率为，焦点到渐近线的距离为2.直线过点，且垂直于轴，过的直线交的两支于两点，直线分别交于两点.
(1)求的方程；
(2)设直线的斜率分别为，若，求点的坐标.

3 . 已知椭圆：的左右焦点分别是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，直线：与椭圆在第二象限交于点，若直线，且与椭圆交于两点，直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为，，求证：为定值．

4 . 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

5 . 已知双曲线：（，）上一点到的两条渐近线的距离之积为．

(1)求的标准方程；
(2)若直线与有两个不同的交点，，且的内心恒在直线上，求在轴上的截距的取值范围．

6 . 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.

7 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线：．
(1)求出双曲线的渐近线方程；
(2)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(3)设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：．

8 . 如图,（1）广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由一个双曲面和上下两个圆面围成的.其中双曲面的构成原理如图（2）所示，圆，所在的平面平行，垂直于圆面，AB为一条长度为定值的线段，其端点A，B分别在圆，上，当A，B在圆上运动时，线段AB形成的轨迹曲面就是双曲面.用过的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称之为截面双曲线.已知主塔的高度，，设塔身最细处的截面圆的半径为，上、下圆面的半径分别为，，且，.
   
(1)求与的夹角；
(2)建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程.

9 . 已知双曲线：的离心率为，左､右焦点分别为，，两条渐近线为，，垂直于点，直线交于点，为坐标原点.
(1)求的值.
(2)若双曲线的实轴长为，过点作斜率为的直线（与轴不重合）交于，两点，是的右顶点，设直线，的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

10 . 已知双曲线T与椭圆共焦点，且焦点到T的渐近线的距离为．
(1)求双曲线T的渐近线方程；
(2)已知过点的直线l与双曲线T交于P，Q两点，线段PQ的中点为E，设过E，F的圆的半径为r．证明：当圆心在x轴上时，是定值．