1 . 如图，四棱锥
的底面是正方形，
平面
，点
在棱
上.
（1）求证：平面
平面
；
（2）当
，且
时，确定点的位置，即求出
的值.
的底面是正方形，平面，点在棱上.（1）求证：平面
平面；（2）当
，且时，确定点的位置，即求出的值.
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解题方法
2 . 已知集合A＝{1，3，
}，B＝{
＋2，1}．是否存在实数，使得B
A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．
}，B＝{＋2，1}．是否存在实数，使得BA？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．
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3 . 若函数
在给定区间M上存在正数t，使得对于任意
，有
，且
，则称为M上的t级类增函数．给出4个命题
①函数
是
上的3级类增函数
②函数
是上的1级类增函数
③若函数
为
上的
级类增函数，则实数a的最小值为2
④设是定义R在上的函数，且满足：1.对任意
，恒有
；2.对任意
，恒有
；3. 对任意
，
，若函数是
上的t级类增函数，则实数t的取值范围为
．
以上命题中为真命题的是____
在给定区间M上存在正数t，使得对于任意，有，且，则称为M上的t级类增函数．给出4个命题①函数
是上的3级类增函数②函数
是上的1级类增函数③若函数
为上的级类增函数，则实数a的最小值为2④设
是定义R在上的函数，且满足：1.对任意，恒有；2.对任意，恒有；3. 对任意，，若函数是上的t级类增函数，则实数t的取值范围为．以上命题中为真命题的是
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4 . 已知椭圆
的离心率为
，点
为椭圆
的左焦点，点
为椭圆的上顶点，且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点
为直线
上一动点，
为椭圆的左、右顶点，直线
分别交椭圆于
两点．试问：直线
是否过定点？若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
的离心率为，点为椭圆的左焦点，点为椭圆的上顶点，且．(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
为直线上一动点，为椭圆的左、右顶点，直线分别交椭圆于两点．试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
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5 . 有序数组是指数组里的数是按规定次序排列的，虽然仍然是同样一些数，但排列次序不同，看作是不同的数组．已知有序数组
：
，由此数组变换可得到一个新的有序数组
：
．如果有序数组中的数满足：当
时，
恒成立，则称有序数组为“首差不减数组”．
(1)已知有序数组P：
，Q：
，试判断有序数组P，Q是否为“首差不减数组”，并说明理由；
(2)有序数组
是数1，2，3，…，m的一个排列，有序数组
，若有序数组M，N均为“首差不减数组”，列举出所有满足条件的有序数组M．
：，由此数组变换可得到一个新的有序数组：．如果有序数组中的数满足：当时，恒成立，则称有序数组为“首差不减数组”．(1)已知有序数组P：
，Q：，试判断有序数组P，Q是否为“首差不减数组”，并说明理由；(2)有序数组
是数1，2，3，…，m的一个排列，有序数组，若有序数组M，N均为“首差不减数组”，列举出所有满足条件的有序数组M．
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6 . 已知抛物线
，直线
与抛物线交于不同的两点
为坐标原点．
(1)若
，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为
，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点
作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点
时，总有直线
也与圆相切？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由．
，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．(1)若
，求证：直线过定点；(2)若直线
的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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7 . 已知点集
满足
，
，
.对于任意点集
，若其非空子集A，B满足
，
，则称集合对
为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为
，B中所有点的纵坐标之和为
.
(1)写出
的一个优划分，使其满足
；
(2)对于任意点集
，求证：存在的一个优划分，满足
；
(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足
且
.
满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.(1)写出
的一个优划分，使其满足；(2)对于任意点集
，求证：存在的一个优划分，满足；(3)对于任意点集
，求证：存在的一个优划分，满足且.
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2024·全国·模拟预测
8 . 已知椭圆
的离心率为，的左焦点与点
连线的斜率为
．
(1)求的方程．
(2)已知点
，过点
的直线与交于
两点，直线
分别交于
．试问：直线
的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
的离心率为，的左焦点与点连线的斜率为．(1)求
的方程．(2)已知点
，过点的直线与交于两点，直线分别交于．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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2024高三下·全国·专题练习
9 . 已知点
在抛物线C：
上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为
，
，且
．
(1)求直线PQ的斜率；
(2)设
的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
在抛物线C：上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为，，且．(1)求直线PQ的斜率；
(2)设
的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
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解题方法
10 . 若在曲线
（或
）上的两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线（或）的“自公切线”.下列方程：① 
；②
；③
；④ 
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
（或）上的两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线（或）的“自公切线”.下列方程：① ；②；③；④ 对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）| A．①③ | B．①④ |
| C．②③ | D．②④ |
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