1 . 若存在实数使得则称是区间的一内点．
（1）求证：的充要条件是存在使得是区间的一内点；
（2）若实数满足：求证：存在，使得是区间的一内点；
（3）给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证：

2 . 定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；
（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.

3 . 已知函数
（1）若，是否存在，使得为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；
（2）若，判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围.

4 . 设是不小于3的正整数，集合，对于集合中任意两个元素，.
定义1：.
定义2：若，则称，互为相反元素，记作，或.
（Ⅰ）若，，，试写出，，以及的值；
（Ⅱ）若，证明：；
（Ⅲ）设是小于的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合中任意两个不相同的元素，，都有，试求集合中元素个数的所有可能值.

5 . 对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．
（I）已知集合，，写出，的值；
（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；
（III）已知均有性质，且，求的最小值.

6 . 已知函数,.
（1）若,函数在区间上的最大值是，最小值是,求的值；
（2）用定义法证明在其定义域上是减函数；
（3）设, 若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 设为奇函数，且实数．
(1)求的值；
(2)判断函数在的单调性，并写出证明过程；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．

9 . 若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域 上是“利普希兹条件函数”．
（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有．

10 . 已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有两个相异实根，且，证明：.（参考数据：）