1 . 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．
(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；
(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．

2 . 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
(1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①；②；
(2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数；
(3)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示）

3 . 设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有．
(1)若，证明：；
(2)若，且，求实数a的取值范围；
(3)若，且，求函数的最小值．

4 . 已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)求证：是奇函数．

5 . 已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数.
(1)求函数的表达式：
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

6 . 如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
(1)记，求证：为型函数；
(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．

7 . 已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.

8 . 已知函数．
(1)当时，解不等式：；
(2)若函数在上的最大值为，求的值；
(3)当时，记，若对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围．

9 . 已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）．
(1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：；
(2)当时，求m的值；
(3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值．

10 . 已知函数为常数，为偶函数．
(1)求的值；并用定义证明在上是严格增函数；
(2)解不等式：．