1 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
(1)若且，证明：函数必有局部对称点；
(2)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围；
(3)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.

2 . 已知奇函数满足
(1)求a，b的值并求的值域：
(2)判断的单调性（无需证明）；
(3)若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围.

3 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：.

4 . 在）个实数组成的n行n列的数表中，表示第i行第j列的数，记，若∈，且两两不等，则称此表为“n阶H表”，记
(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数且，求证：为偶数；
(3)求证：不存在“5阶H表”.

5 . 已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，.
(1)求证：是奇函数；
(2)若，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

6 . 对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足:
①;
②;
③，则称互为等矩集.
(1)若集合与互为等矩集，求的值;
(2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集；

7 . 已知是偶函数，是奇函数．
(1)求，的值；
(2)用定义证明的在上单调递增；
(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知数集．如果对任意的，与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
(1)分别判断数集，是否具有性质，并说明理由；
(2)设数集具有性质P．若，证明：对任意都有是的因数．

9 . 已知函数（且）为定义在R上的奇函数.
(1)判断并证明的单调性；
(2)若函数，对干任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.