1 . 如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数的“阶梯点”．
(1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由；
(2)证明：函数有唯一“阶梯点”；
(3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围．

2 . 我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
(1)利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；
(2)判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．

3 . 函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．

5 . 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求不等式的解集．

6 . 已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值.
(1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）；
(2)若集合具有性质，求证：和；
(3)若集合具有性质，求证：.

7 . 已知函数是定义在上的奇函数且
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；
(3)设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值.

8 . 设，已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
(3)设实数满足：，且，用反证法证明：.

9 . 对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，我们就称集合为“和谐集”
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由．
(2)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由．
(3)求证：集合不是和谐集．

10 . 已知函数．
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．