1 . 已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.
（1）若，，均在集合中，求证：函数；
（2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围；
（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.

2 . 设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．
（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；
（2）若函数 （且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；
（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．

3 . 已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上都不是常值函数.设，其中分点将区间任意划分成个小区间，记，称为关于区间的阶划分“落差总和”.
当取得最大值且取得最小值时，称存在“最佳划分”.
(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求证：在上存在“最佳划分”的充要条件是在上单调递增.
(3)若是偶函数且存在“最佳划分”，求证：是偶数，且.

4 . 是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
①对任意的，都有；
②存在常数，使得对任意的，都有.
（1）设，问是否属于？说明你的判断理由；
（2）若，如果存在，使得，证明这样的是唯一的；
（3）设为正实数，是否存在函数，使？作出你的判断，并说明理由.

5 . 已知二次函数
（1）若且，是否存在实数，使当时，为正数？
（2）若，，且方程有两个不等的实根.证明：必有一实根在与之间.

6 . 已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有两个相异实根，且，证明：.（参考数据：）

7 . 已知函数（k为常数），函数，（a为常数，且）.
（1）若函数有且只有1个零点，求k的取值的集合.
（2）当（1）中的k取最大值时，求证：.

8 . 若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．
（1）试判断函数与是否是“L函数”；
（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；
（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有．

9 . 已知函数
（1）当 时，求 的单调区间，并证明此时成立；
（2）若在上恒成立，求 的取值范围.

10 . 已知函数为奇函数.
（1）求的值，并求函数的定义域；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对于任意，是否存在实数，使得不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.