1 . 设a为实数，函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）当时，讨论方程在R上的解的个数．

2 . 已知二次函数和函数.
（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；
（2）若方程有两个不相等的实根则：
①试判断函数在区间上是否具有单调性，并说明理由；
②若方程的两实根为，求使成立的的取值范围.

3 . 已知函数对一切实数都有成立，且，.
（1）求的值和的解析式；
（2）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

4 . 定义函数，其中为自变量，为常数．
（Ⅰ）若函数在区间上的最小值为，求的值；
（Ⅱ）集合，，且，求的取值范围．

5 . 设函数的定义域分别为，且.若对于任意，都有，则称是在上的一个延拓函数.给定.
（1）若是在上的延拓函数，且为奇函数，求的解析式.
（2）设为在上的任意一个延拓函数，且是上的单调函数，试判断函数在上的单调性，并加以证明.
（3）在（2）的条件下，设，求证：
（4）在（2）的条件下，求证：关于的不等式有解.

6 . 设，其中．
（1）当时，分别求及的值域；
（2）记，，，，，，若，求的值．

7 . 已知定义在区间上的函数.
（1）判断函数在的单调性，并用定义证明；
（2）设方程有四个不相等的实根，，，.
①证明：；
②在是否存在实数a，b，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

8 . 已知函数：且.
（1）证明：对定义域内的所有都成立；
（2）当的定义域为时，求证：的值域为；
（3）设函数，求的最小值.

9 . 已知为正数，函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意的实数总存在，使得对任意恒成立，求实数的最小值.

10 . 设常数，函数．
（1）当时，判断并证明函数在的单调性；
（2）当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当时，若存在区间，，使得函数在，的值域为，，求实数的取值范围．