1 . 数列分别满足：，其中，其中，设数列前n项和分别为.
（1）若数列为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数k（），使得，则称为“k坠点数列”
（Ⅰ）若数列为“6坠点数列"，求；
（Ⅱ）若数列为“5坠点数列”，是否存在“p坠点数列”，使得，若存在，求正整数m的最大值；若不存在，说明理由.

2 . 今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.
（1）若，进行操作后得到，设前项和为
①求．
②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由．
（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．

3 . 已知，若，则的表达式为______.

4 . 在中，已知则最大值为__________.

5 . 已知数列满足:
（1）证明:   
（2） 证明:

6 . 定义函数的所有零点构成严格单调增数列.
（1）求证:;
（2）若对任意的存在负数使得方程有两个不等实解与,并且满足,试证明:.

7 . 已知函数，满足.设为上任一点,过作的切线,其斜率满足
（1）求函数的解析式；
（2）若数列满足.设为正常数.
①求；
②若不等式对任意的恒成立，则实数是否存在最大值?若存在,请求出这个值；若不存在,请说明理由.

8 . 已知与其内的两点.且满足.若的最小值为,并且有成立,则的值为_______________.

9 . 若任意的恒成立,则当取到最大值时, _______________.

10 . 已知数列的前项的和为，记．
（1）若是首项为，公差为的等差数列，其中，均为正数．
①当，，成等差数列时，求的值；
②求证：存在唯一的正整数，使得．
（2）设数列是公比为的等比数列，若存在，（，，）使得，求的值．