1 . 已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：直线PQ过定点．

2 . 已知函数与的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．
（1）若，求b的值．
（2）求证：．

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.

4 . 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，记，证明：．

5 . 函数在上不单调．
（1）求a的取值范围；
（2）若，，，求证：．

6 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O关于直线的对称点落在直线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，M、N是椭圆上关于x轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点E，求直线的斜率范围并证明直线与x轴相交定点．

7 . 设椭圆，为原点，点是轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两个不同点、，已知关于轴的对称点为，关于原点的对称点为，若、满足，求证：直线经过定点．

8 . 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）令在上的最小值为，求证：．
（参考数据：，，，）

9 . 已知椭圆C：，，分别为C的左、右焦点，离心率，P为椭圆上任意一点，且的最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，其中A点关于x轴的对称点为（异于点B），证明：所在直线恒过定点．

10 . 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：．