1 . 已知椭圆的下焦点为，与短轴的两个端点构成正三角形，以（坐标原点）为圆心，长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为直线上任意一点，过点作与直线垂直的直线，交椭圆于两点，的中点为，求证：三点共线．

2 . 设函数.
（1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数的取值范围；
（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

3 . 如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于P，M两点.
（i）求证：；
（ii）试探究是否为定值.

4 . 已知函数.
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）若f（x）有两个极值点，，证明：.

5 . 已知点是焦点在轴上的椭圆的上顶点，椭圆上恰有两点到点的距离最大，则的取值范围为（　　）

A．（0，1）

B．（0，2）

C．（0，3）

D．（0，4）

6 . 已知函数，.
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若有两个零点，求参数的取值范围

7 . 过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为

A．

B．

C．

D．

8 . 已知函数（，e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）证明：对任意，都有成立；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.

9 . 已知函数恰有两个零点，则实数 的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为；
（1）求椭圆的方程；
（2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第二象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值.