1 . 已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）证明：．

2 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明是什么曲线．
（2）曲线与轴正半轴的交点为点，点是曲线上的一点（点不在坐标轴上），若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为等腰三角形．

3 . 已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）证明函数为单调递增函数．

4 . 已知函数，.
（1）若，求的最大值；
（2）若函数，讨论的单调性；
（3）若函数有两个极值点，（），求证：.

5 . （1）证明下列不等式：；
（2）求函数的极值.

6 . 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明有唯一的极值点，且．

7 . 已知函数且.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：.

8 . 已知函数．
（1）已知函数在点处与x轴相切，求实数m的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）在（1）的结论下，对于任意的，证明：．

9 . 设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：（e为自然对数的底数）.

10 . 已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）当时，证明：．