1 . 已知、为椭圆（）和双曲线的公共顶点，、分为双曲线和椭圆上不同于、的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、.
（1）求证：点、、三点共线；
（2）求的值；
（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.

2 . 已知椭圆焦距为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求椭圆中斜率为的平行弦的中点的轨迹方程.

3 . 已知：椭圆的焦点在轴上，左焦点与短轴两顶点围成面积为的等腰直角三角形，直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；
(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.

5 . 如图,把长为6,宽为3的矩形折成正三棱柱,三棱柱的高度为3,矩形的对角线和三棱柱的侧棱的交点记为E,F.
(1)求三棱柱的体积；
(2)求三棱柱中异面直线与所成角的大小.

6 . 以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”，设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.
（1）求椭圆及其“准圆"的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，当时，试求直线交“准圆”所得的弦长；
（3）射线与椭圆的“准圆”交于点，若过点的直线，与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分别交于，两点，试问弦是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.

7 . 已知是抛物线上一点，过原点作直线的垂线，设点的坐标为，其中，直线交于点.
（1）当时，求原点到直线的距离（用表示）；
（2）若当在抛物线上运动时，点的轨迹经过点，求的值.

8 . 如图：已知椭圆的内切圆的一条切线交椭圆于A、B,且切线AB与圆的切点Q在轴右侧．是椭圆的右焦点．

（1）设点，试用两点间距离公式推导的表达式（用 与的式子表示）；
（2）判断的长是否为定值?如果是定值,求出此定值;如果不是,请说明理由．

9 . 如图所示，在长方体中，已知，．

（1）求：凸多面体的体积；
（2）若为线段的中点，求点到平面的距离；
（3）若点、分别在棱、上滑动，且线段的长恒等于，线段的中点为
①试证：点必落在过线段的中点且平行于底面的平面上；
②试求点的轨迹．

10 . 已知复数、满足方程和，记与在平面上所对应的点所形成的轨迹为和.
（1）求曲线和的方程；
（2）过点的直线交于、不同两点，交轴于点，已知，，求的值；
（3）直线交于、不同两点，、在轴的射影分别为、，若点满足，证明：点在上.