1 . 已知数列
满足：
，且
.
(1)证明：对于任意
，数列中有无限项满足
；
(2)已知
，求证：
.
满足：，且.(1)证明：对于任意
，数列中有无限项满足；(2)已知
，求证：.
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2 . 对于整数除以某个正整数的问题，如果只关心余数的情况，就会产生同余的概念.关于同余的概念如下：用给定的正整数
分别除整数
，若所得的余数（小于正整数的自然数，即0，1，
）相等，则称对模同余，记作
.例如：因为
，
，所以
；因为
，所以
.表示对模同余关系的式子叫做模的同余式，简称同余式，同余式的记号是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算，其运算规则如下：已知整数
，正整数，若
，则
，
.阅读上述材料，解决下列问题：
(1)若
，且整数
，求
的值；
(2)已知整数，正整数，证明：若，则
；
(3)若
，其中
为正整数，
为非负整数，证明：能被11整除的充要条件为
能被11整除.
分别除整数，若所得的余数（小于正整数的自然数，即0，1，）相等，则称对模同余，记作.例如：因为，，所以；因为，所以.表示对模同余关系的式子叫做模的同余式，简称同余式，同余式的记号是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算，其运算规则如下：已知整数，正整数，若，则，.阅读上述材料，解决下列问题：(1)若
，且整数，求的值；(2)已知整数
，正整数，证明：若，则；(3)若
，其中为正整数，为非负整数，证明：能被11整除的充要条件为能被11整除.
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2023高三·全国·专题练习
3 . 如图所示，菱形
的对角线
与
交于点
，点
、
分别为
、
的中点，
交于点
，将
沿折起到
的位置.
；
(2)若
，
，
，求二面角
的大小.
的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.
；(2)若
，，，求二面角的大小.
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4 . 如果整数
，证明：
.
，证明：.
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名校
解题方法
5 . 在平面直角坐标系中，两点
、
的“曼哈顿距离”定义为
，记为
，如点
、
的“曼哈顿距离”为9，记为
.
（1）点，
是满足
的动点
的集合，求点集所占区域的面积；
（2）动点
在直线
上，动点在函数
图像上，求的最小值；
（3）动点在函数
的图像上，点
，的最大值记为
，请选择下列二问中的一问，做出解答：
①求证：不存在实数、
，使
；
②求的最小值.
、的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点、的“曼哈顿距离”为9，记为.（1）点
，是满足的动点的集合，求点集所占区域的面积；（2）动点
在直线上，动点在函数图像上，求的最小值；（3）动点
在函数的图像上，点，的最大值记为，请选择下列二问中的一问，做出解答：①求证：不存在实数
、，使；②求
的最小值.
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6 . 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中am，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，j≥bi+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.
表1
表2
（1）判断是否存在表1，使得表2中的bi，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）
（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有bm，n﹣bm，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；
（3）若ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有bi，1+bi，2+…+bi，20≤19成立.
表1
| a1，1 | a1，2 | … | a1，20 |
| a2，1 | a2，2 | … | a2，20 |
| … | … | … | … |
| a40，1 | a40，2 | … | a40，20 |
| b1，1 | b1，2 | … | b1，20 |
| b2，1 | b2，2 | … | b2，20 |
| … | … | … | … |
| b40，1 | b40，2 | … | b40，20 |
（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有bm，n﹣bm，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；
（3）若ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有bi，1+bi，2+…+bi，20≤19成立.
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7 . 已知
.
（1）当
时，不等式
恒成立，求m的取值范围；
（2）求证：当
时，
.
.（1）当
时，不等式恒成立，求m的取值范围；（2）求证：当
时，.
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2020-05-12更新
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1341次组卷
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4卷引用：人教B版(2019) 选修第三册 一蹴而就 模块整合
2018高二上·全国·专题练习
名校
8 . 已知数列
满足
，且对一切
，有
，其中
为数列的前n项和．
（1）求证：对一切，有
；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：
．
满足，且对一切，有，其中为数列的前n项和．（1）求证：对一切
，有；（2）求数列
的通项公式；（3）求证：
．
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2018-10-09更新
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902次组卷
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9卷引用：2018年9月16日 《每日一题》人教必修5-每周一测
（已下线）2018年9月16日 《每日一题》人教必修5-每周一测（已下线）2018年10月22日 《每日一题》人教必修5--数列与不等式的综合（上学期期中复习）（已下线）2019年9月15日 《每日一题》必修5 —— 每周一测（已下线）2019年10月21日 《每日一题》必修5-数列与不等式的综合（已下线）2019年10月21日 《每日一题》必修5数学-数列与不等式的综合（已下线）【新东方】杭州高二数学试卷234（已下线）2019年10月21日《每日一题》人教版必修5数学 ——数列与不等式的综合江苏省盐城市建湖县上冈高级中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题江苏省如东高级中学、如东县第一高级中学、徐州中学、沭阳如东高级中学、宿迁市第一高级中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段测试数学试卷
