2023高三·全国·专题练习
1 . 设
是定义在R上的函数．
，
．
(1)证明：
；
(2)若是R上的增函数，试判断
是否成立，并证明你的结论．
是定义在R上的函数．，．(1)证明：
；(2)若
是R上的增函数，试判断是否成立，并证明你的结论．
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解题方法
2 . 设函数
,
．
(1)当
时,证明:
;
(2)若
,求a的取值范围．
,．(1)当
时,证明:;(2)若
,求a的取值范围．
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3 . 已知
为正整数.
(1)证明：
不能 表示为两个以上连续整数的乘积；
(2)若能 表示为两个连续整数的乘积，求的最大值.
为正整数.(1)证明：
(2)若
的最大值.
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2023-02-15更新
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161次组卷
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2卷引用：安徽省宣城市泾县中学2021年强基夏令营选拔测试数学试题
2023高三·全国·专题练习
4 . 已知函数
，
且
(1)证明：函数
的图像关于直线
对称；
(2)若
满足
， 但
，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点
，试确定实数
的取值范围．
，且(1)证明：函数
的图像关于直线对称；(2)若
满足， 但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定实数的取值范围．
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名校
解题方法
5 . 已知函数
，
，且
(1)若
，且
，试比较与
的大小关系，并说明理由；
(2)若
，且
，证明：
（i）
；
（ii）
.
（参考数据：
）
，，且(1)若
，且，试比较与的大小关系，并说明理由；(2)若
，且，证明：（i）
；（ii）
.（参考数据：
）
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6 . 设
为满足下列条件的函数构成的集合：存在实数，使得
．证明：
是中的元素．
为满足下列条件的函数构成的集合：存在实数，使得．证明：是中的元素．
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名校
解题方法
7 . 若函数在定义域内的某区间
上是严格增函数，而
在区间上是严格减函数，则称函数
在区间上是“弱增函数”.
(1)判断
，
在区间
上是否是“弱增函数”（不需证明）？
(2)若
（其中常数
，
）在区间
上是“弱增函数”，求、
应满足的条件；
(3)已知
（
是常数且
），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.
在定义域内的某区间上是严格增函数，而在区间上是严格减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.(1)判断
，在区间上是否是“弱增函数”（不需证明）？(2)若
（其中常数，）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件；(3)已知
（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.
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2021-12-16更新
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307次组卷
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3卷引用：上海市中国中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题
名校
8 . 已知
，函数
，其中
…为自然对数的底数.
（1）证明：函数
在
上有唯一零点；
（2）记为函数在上的零点，证明：
；
，函数，其中…为自然对数的底数.（1）证明：函数
在上有唯一零点；（2）记
为函数在上的零点，证明：；
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2021-10-12更新
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558次组卷
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3卷引用：湖南省永州市第一中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学试题
名校
解题方法
9 . 已知函数
，其中e是自然对数的底数.
（1）若关于x的不等式
在
上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知正数a满足：
，试比较
与
的大小，并证明你的结论.
，其中e是自然对数的底数.（1）若关于x的不等式
在上恒成立，求实数m的取值范围；（2）已知正数a满足：
，试比较与的大小，并证明你的结论.
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10 . 已知函数
.
（1）若
，求曲线在
处的切线方程.
（2）若存在实数，使得
有两个不同的零点
，证明：
.
.（1）若
，求曲线在处的切线方程.（2）若存在实数
，使得有两个不同的零点，证明：.
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