1 . 已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于.
(1)求椭圆方程；
(2)过椭圆内一点作一条弦，使该弦被点平分，求弦所在直线方程.

2 . 已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

3 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M，N在椭圆C上.
(1)若线段MN的中点坐标为，求直线MN的斜率；
(2)若M，N，O三点共线，直线NF₁与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值.

5 . 已知椭圆C经过点，且与椭圆E：有相同的焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B在椭圆C上，且线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（3）若动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线交于点Q，问：以线段为直径的圆是否经过x轴上的定点M﹖若存在.求出定点M的坐标；若不存在.请说明理由.

6 . 已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求以点为中点的弦所在直线的方程．
（3）过点的直线l与椭圆分别交于A，B两点，求的面积的最大值．

7 . 已知圆和定点，是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程
（2）过曲线内一点作一条弦，使该弦被点平分，求弦所在直线方程.

8 . 若直线与椭圆交于不同的两点、，如果线段被直线平分，求直线的斜率的取值范围．

9 . 已知椭圆的离心率，A，B是椭圆C上两点，是线段的中点.
（1）求直线的方程；
（2）若以为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.

10 . 如图，曲线由两个椭圆和椭圆组成，当a、b、c成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”，若猫眼曲线过点，且a、b、c的公比为.

（1）求猫眼曲线的方程；
（2）任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，求证：为与k无关的定值；
（3）设、为椭圆上的两点，直线OP、直线的斜率分别为、，且，求的最大值.