1 . 设是实数，是整数，若，则称是数轴上与最接近的整数.
（1）数列的通项为，且对任意的正整数，是数轴上与最接近的整数，写出一个满足条件的数列的前三项；
（2）数列的通项公式为，其前项和为，求证：整数是数轴上与实数最接近的整数；
（3）是首项为，公比为的等比数列的前项和，是数轴上与最接近的正整数，求.

2 . 对于项数为的有限数列，记该数列前项中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，即，．
（1）对于共有四项的数列：，求出相应的；
（2）设为常数，且，，求证：；
（3）设实数，数列满足，()，若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

3 . 在数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
（1）已知数列中，，，求数列的通项公式；
（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；
（3）已知数列为等差数列，且0，，求证：为“等比源数列”．

4 . 若存在常数，使得对于任意，都有，则称数列为数列.
（1）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若为数列，求的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记的前项和为，数列的前项和为，且，，若数列满足，且为数列，求的最大值；
（3）已知正项数列满足：，且数列为数列，数列为数列，若，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.

5 . 定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列是“等和数列”，求实数的值；
（2）设数列通项公式为，且共有项，证明：不是等和数列；
（3）项数为的等差数列的前项和为，求证：是“等和数列”

6 . 已知是无穷数列，，且对于中任意两项，在中都存在一项，使得.
（1）若，求；
（2）若，求证：数列中有无穷多项为；
（3）若，求数列的通项公式.

7 . 已知点、、、（），都在函数（，）的图像上.
（1）若数列是等比数列，求证：数列是等差数列；
（2）当（）时，设过点、的直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
①求出直线在两坐标轴上的截距；
②求数列最大项及其值，并说明理由；
（3）若数列是递增数列，数列满足：对任意，总可以找到，使得，则称是的“分隔数列”，若（），递增数列满足，是的前项和，若数列是的“分隔数列”，求实数与的取值范围.

8 . 已知有穷数列.定义数列的“伴生数列”：，其中，规定
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
   ①

   ②

（2）已知数列的“伴生数列”，且满足.若数列中存在相邻两项为，求证：数列中每一项均为.

9 . 斐波那契数列（ Fibonaccisequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多•斐波那契（ Leonardodalibonace）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．记斐波那契数列为{a_n}，数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝1，a_n+1＝a_n+a_n﹣1（n≥2，n∈N*）．
（1）若{a_n+1﹣pa_n）（p＜0）是等比数列，求实数p的值；
（2）求斐波那契数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：从第二项起，每个偶数项的平方都比其前后两项之积少1．

10 . 设n是正整数，对每一个满足0≤≤n（i＝1，2…，n）的整数数列A：0，a₁…,a_n，定义变换T：T将数列A变换成数列T（A）：0，T（a₁），T（a₂），…，T（a_n），其中T（a_i）为数列A位于之前的与不相等的项的个数（i＝1，2，…，n），令A_k+1＝T（A_k）（k＝0，1，2，…）
（1）已知数列A₀分别为0，1，2，3和0，0，2，0，1，3，请写出对应的数列A₁，A₂，A₃，
（2）数列B：0，b₁，b₂…，b_n满足b_i﹣1≤b_i，且b_i＝i或b_i﹣1（i＝1，2，…，n），求证；T（B）＝B；
（3）求证：对任意满足已知条件的数列A₀，当k≥n时，A_k＝T（A_k）．