1 . 若数列和的项数均为,则将数列和的距离定义为.
(1)求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离;
(2)记A为满足递推关系的所有数列的集合,数列和为A中的两个元素,且项数均为.若,,数列和的距离,求m的最大值;
(3)记S是所有7项数列(其中,或1)的集合,,且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证:T中的元素个数小于或等于16.
(1)求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离;
(2)记A为满足递推关系的所有数列的集合,数列和为A中的两个元素,且项数均为.若,,数列和的距离,求m的最大值;
(3)记S是所有7项数列(其中,或1)的集合,,且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证:T中的元素个数小于或等于16.
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2 . 对于数列,,…,,记,.设数列,,…,和数列,,…,是两个递增数列,若A与满足,,且,,则称A,具有关系.
(1)若数列A:4,7,13和数列:3,,具有关系,求,的值;
(2)证明:当时,存在无数对具有关系的数列;
(3)当时,直接写出一对具有关系的数列和.(本小问不用写解答过程)
(1)若数列A:4,7,13和数列:3,,具有关系,求,的值;
(2)证明:当时,存在无数对具有关系的数列;
(3)当时,直接写出一对具有关系的数列和.(本小问不用写解答过程)
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3 . 设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.
(1)若,判断数列是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差,且是“数列”,
①求的值;
②设为数列的前项和,证明:
(1)若,判断数列是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差,且是“数列”,
①求的值;
②设为数列的前项和,证明:
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4 . 给定正整数,若项数为的正实数数列满足:,且,称数列为“数列”.如果“数列”存在分别是一个锐角三角形的三个边长,则称这个项数列为“数列”.
(1)判断数列:2,2,2,2,2和数列:1,2,3,4,5是否为“数列”;
(2)正数数列满足:.证明:数列是“数列”,但不是“数列”;
(3)若任意的项“数列”均为“数列”,求出所有满足条件的整数.
(1)判断数列:2,2,2,2,2和数列:1,2,3,4,5是否为“数列”;
(2)正数数列满足:.证明:数列是“数列”,但不是“数列”;
(3)若任意的项“数列”均为“数列”,求出所有满足条件的整数.
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2024·辽宁·三模
解题方法
5 . 若实数列满足,有,称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”,并说明理由;
(2)若数列为“数列”,证明:对于任意正整数,且,都有
(3)已知数列为“数列”,且.令,其中表示中的较大者.证明:,都有.
(1)判断是否为“数列”,并说明理由;
(2)若数列为“数列”,证明:对于任意正整数,且,都有
(3)已知数列为“数列”,且.令,其中表示中的较大者.证明:,都有.
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解题方法
6 . 对于有穷数列,若存在等差数列,使得,则称数列是一个长为的“弱等差数列”.
(1)证明:数列是“弱等差数列”;
(2)设函数,在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为,证明: 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”,且是等比数列.
(1)证明:数列是“弱等差数列”;
(2)设函数,在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为,证明: 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”,且是等比数列.
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7 . 已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,即;前项的最小值记为,即,令(),并将数列称为的“生成数列”.
(1)若,求其生成数列的前项和;
(2)设数列的“生成数列”为,求证:;
(3)若是等差数列,证明:存在正整数,当时,,,,是等差数列.
(1)若,求其生成数列的前项和;
(2)设数列的“生成数列”为,求证:;
(3)若是等差数列,证明:存在正整数,当时,,,,是等差数列.
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8 . 已知数列:,,…,(,)具有性质:对任意,(),与两数中至少有一个是该数列中的一项,为数列的前项和.
(1)分别判断数列0,1,3与数列0,1,3,4是否具有性质;
(2)证明:,且;
(3)证明:当时,,,,,成等差数列.
(1)分别判断数列0,1,3与数列0,1,3,4是否具有性质;
(2)证明:,且;
(3)证明:当时,,,,,成等差数列.
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名校
解题方法
9 . 对于无穷数列,若对任意,且,存在,使得成立,则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为,试判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)已知数列为等差数列,
①若是“数列”,,且,求所有可能的取值;
②若对任意,存在,使得成立,求证:数列为“数列”.
(1)若数列的通项公式为,试判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)已知数列为等差数列,
①若是“数列”,,且,求所有可能的取值;
②若对任意,存在,使得成立,求证:数列为“数列”.
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2024-04-12更新
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1105次组卷
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3卷引用:云南省昆明市第三中学2023-2024学年高二下学期第二次综合测试(4月)数学试题
10 . 若数列满足:存在等差数列,使得集合元素的个数为不大于,则称数列具有性质.
(1)已知数列满足,.求证:数列是等差数列,且数列有性质;
(2)若数列有性质,数列有性质,证明:数列有性质;
(3)记为数列的前n项和,若数列具有性质,是否存在,使得数列具有性质?说明理由.
(1)已知数列满足,.求证:数列是等差数列,且数列有性质;
(2)若数列有性质,数列有性质,证明:数列有性质;
(3)记为数列的前n项和,若数列具有性质,是否存在,使得数列具有性质?说明理由.
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2024-04-10更新
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284次组卷
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2卷引用:辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题