2 . 设数列的前项和为．若对，总，使得，则称数列是“数列”．
（1）若数列是等差数列，其首项，公差．证明：数列是“数列”；
（2）若数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

3 . 称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②．
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；
（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式：
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为；
（ⅰ）求证：．
（ⅱ）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

4 . 设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
(1)若数列中，，，求证：数列是“封闭数列”；
(2)若，试判断数列是否为“封闭数列”，并说明理由．

5 . 已知数列，如果数列满足，，则称数列是数列的“生成数列”．
（1）若数列的通项公式为，写出数列的生成数列”的通项公式．
（2）若数列的通项公式为（是常数），则数列的“生成数列”是否是等差数列？说明理由．
（3）已知数列的通项公式为，求数列的“生成数列”的前项和．

6 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“扩展”．已知数列：1，2，3，该数列经过次“扩展”后得到数列：1，，，…，，3，数列的所有项之和为．
（1）写出数列，；
（2）求，的值；
（3）求数列的前项和公式．

7 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①；②存在实数，使为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中，，，，，，，，，，试判断数列、是否为集合中的元素；
（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，，证明数列，并写出的取值范围；
（Ⅲ）设数列，对于满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增．

8 . 记，若是等差数列，则称为数列的“等差均值”；若是等比数列，则称为数列的“等比均值”．已知数列的“等差均值”为2，数列的“等比均值”为3．记，数列的前项和为．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对任意的正整数都有，求实数的取值范围．

9 . 已知数列的前项和，令，.
（1）求､的通项公式；
（2）数列中去掉数列中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列，求的值.

10 . 已知等差数列满足:，，成等差数列，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项和.