1 . 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，

(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．

2 . 定义圈数列X：，，，；X为一个非负整数数列，且规定的下一项为．为方便表示，记，，这样的相邻两项可以统一表示为，，，2，3，，n（的相邻两项为，，即，；的相邻两项为，，即，相当于数列摆在圈上）．称圈数列X做了一次P运算：选取一项，将圈数列X变为圈数列：，，，，，，即将减2，相邻两项各加1，其余项不变．并记下标k输出了一次．记X进行过i次P运算后数列为：，，，．（规定）
(1)若X：4，0，0，直接写出一组可能的，，，；
(2)若进行q次P运算后（），有，此时下标k输出的总次数为，，1，2，3，，记，，直接写出一组非负实数，，使得对任意，2，3，，n，都成立，并证明；
(3)若X：，0，0，，0，证明：存在M，当正整数时，中至少有一半的项非零．

4 . 设同时满足条件：①；②，是常数）的无穷数列叫做数列，已知数列的前项和满足为常数，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列为等比数列，求的值；并证明数列为数列．

5 . 设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;
(2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.

6 . 对于给定数列，如果存在实常数、使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”．
(1)若，，，数列、是否为“类数列”？
(2)若数列是“类数列”，求证：数列也是“类数列”；
(3)若数列满足，，为常数．求数列前2022项的和．

7 . 已知公比大于1的等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.

8 . 我们称（）元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为.
(1)求和的值；
(2)当为正偶数时，求的通项公式．

9 . 定义：称为个正数，，…，，的“均倒数”．已知数列的前项的“均倒数”为，
(1)求的通项公式；
(2)设，试判断并说明（为正整数）的符号；
(3)设函数，是否存在最大的实数，当时，对于一切的自然数都有．

10 . 设数列的前项积为，且．
(1)求数列的通项公式
(2)记区间内整数的个数为，数列的前项和为，求使得的最小正整数．