1 . 若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．例如，数列与数列都是“对称数列”．
(1)已知数列是项数为9的对称数列，且,,,,成等差数列，，,试求，，，，并求前9项和.
(2)若是项数为的对称数列，且构成首项为31，公差为的等差数列，数列前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)设是项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列．求前项的和．

2 . 数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.
（1）设 是首项为2，公差为2的等差数列，证明为“3阶可分拆数列”；
（2）设数列的前项和为，若数列为“阶可分拆数列”，求实数的值；
（3）设，试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”．若存在，请求出所有，若不存在，请说明理由．

3 . 若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
（1）若具有性质“”，且，，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，互质，求证：具有性质“”.

4 . 记，对数列和的子集若，定义，若定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时.
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意正整数若求证：；
(3)对任意正整数若，记数列的前项和为，求证：

5 . 对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.
（Ⅰ）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质
（Ⅱ）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.

6 . 已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.
（注：区间的长度均为）

7 . 若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

8 . 已知正项数列为等比数列，等差数列的前项和为，且满足：
.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求；
(3)设，问是否存在正整数，使得.

9 . 从中这个数中取个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列这个数记为.
（1）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；
（2）求；
（3）求证:.

10 . 对于数列，把作为新数列的第一 项，把或作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列 .例如, 数列 的一个生成数列是.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.
(1)写出的所有可能值；
(2)若生成数列满足，求数列的通项公式.