2 . 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的实轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.

3 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

6 . 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点.
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
(3)设的斜率为，且，求双曲线的离心率.

7 . 设双曲线的方程为.过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点， 直线的方程为， 在直线上的射影分别为.
(1)当垂直于轴， 时， 求四边形的面积；
(2)当， 的斜率为正实数， 在第一象限， 在第四象限时， 试比较和的大小， 并说明理由；
(3)是否存在实数， 使得对满足题意的任意直线， 直线和直线的交点总在轴上， 若存在， 求出所有的的值和此时直线与交点的位置； 若不存在， 说明理由.

8 . 已知，，点满足，记点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)斜率为的直线过点，且与轨迹的右支相交于两点．求斜率的取值范围；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．

9 . 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
(3)设的斜率为，，求双曲线的方程．

10 . 已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.