1 . 已知数列满足：，或，对一切都成立．记为数列的前项和．若存在一个非零常数，对于任意，成立，则称数列为周期数列，是一个周期．
(1)求、所有可能的值，并写出的最小可能值；（不需要说明理由）
(2)若，且存在正整数，，使得与均为整数，求的值；
(3)记集合，求证：数列为周期数列的必要非充分条件为“集合为无穷集合”．

2 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.

3 . 已知函数的定义域是D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为不减函数．现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则．
试证明下列结论：
(1)对于，若，则；
(2)a）在上为不减函数；
b）对，都有；
(3)当时，有．

4 . 若数列满足，，（，），则称数列为Fibonacci数列．该数列是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．下列关于此数列的结论正确的有（       ）

A．

B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列前n项和为，则

C．记，则数列的前2021项的和为

D．

5 . 已知，，…，（n为正整数）是直线上的n个不同的点，设，当且仅当时，恒有（i和j都是不大于n的正整数，且），.有下列命题：
①数列是等差数列；
②；
③点P在直线l上；
④若是等差数列，P点坐标为.
其中正确的命题有___________.（填写所有正确命题的序号）.

6 . 已知数列，若存在使得数列是递减数列，则称数列是“型数列”.
(1)判断数列，是否为“型数列”；
(2)若等比数列的通项公式为（），，其前项和为，且是“型数列”，求的值和的取值范围；
(3)已知，数列满足，（），若存在，使得是“型数列”，求的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.

7 . 若数列，，…，满足：①；②；③任意项的算术平均值是整数，则称数列为“数列”.
（1）若数列1，，，13为“数列”，写出所有可能的，；
（2）是否存在正整数，，，，，，使得，，，，，为“数列”？若存在，请写出一组，，，，，并验证，若不存在，请说明理由；
（3）若“数列”中，，，…，中，，，求的最大值.

8 . 已知下列说法正确的是（       ）

A．设，则数列的前项的和为

B．

C．=()

D．为等比数列