1 . 已知双曲线经过点，直线与交于两点，直线分别与轴相交于点.
(1)证明：以线段为直径的圆恒过点；
(2)若，且，求.

2 . 已知正实数，函数，，为的导函数.
(1)若，求证：；
(2)求证；对任意正实数m，n，，有.

3 . 如图1，在中，，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为（）．

（1）当时，将BP靠转到图2位置，点D在射线BP上．若，则________（填“>”“=”“<”），线段BD，CD与AD之间的数量关系是___________；
（2）当时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上．若，求证：；
（3）将图3中的BP继续旋转，当时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上）．若，，，请直接写出AD的长（不必写过程）．

4 . 如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线.

(1)证明：平面；
(2)若圆O的半径为2，，与圆柱的底面成45°角，点P为的中点，求点P到平面的距离.