1 . 如图，在正方形ABCD中，.求证：.

证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∴.
∵，∴.
∴.∴.
∴.∴.
   
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究

   
(1)【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，，，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则___________.
(3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，，，，点E､F分别在线段AB､AD上，且.求的值.

2 . 已知：如图，等腰三角形中，，，直线经过点（点、都在直线的同侧），，，垂足分别为、.
   
(1)求证：；
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系，并证明.

3 . 如图，已知为的边上一点，以为顶点的的两边分别交射线于两点，且（为锐角）．当以点为旋转中心，边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动．设，，的面积为．若，．

(1)当旋转（即）时，求点移动的距离；
(2)求证：；
(3)写出与之间的关系式；
(4)试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围．

4 . 对于平面向量，定义“变换”：，
(1)若向量，，求；
(2)求证：；
(3)已知，，且与不平行，，，求证：．

5 . 如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP.

(1)如图②，若M为AD边的中点，
①的周长=_________cm；
②求证：；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，的周长是否发生变化?请说明理由.

6 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为15，边比大2，为的中点，以为直径的交轴于点，过点作于．

(1)求的长；
(2)求证：为的切线；
(3)小明在解答本题时，发现是等腰三角形．由此，他断定：“直线上一定存在除点以外的点，使也是等腰三角形，且点一定在外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

7 . 请利用种方法证明勾股定理.并说出一例勾股定理在生活中的运用.

8 . 已知，在平面直角坐标系中，一次函数交x轴于点A，交y轴与点B.

(1)如图1，若，求线段AB的长；
(2)如图2，点C与点A关于y轴对称，作射线BC；
①若，请写出以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图象的函数解析式；
② y轴上有一点，连接AD、CD，请判断四边形ABCD的形状并证明；若，求k的取值范围.

9 . 如图，在五面体中，，，平面平面,，，，.

(1)证明：平面；
(2)若点、分别为、的中点，证明：平面平面；
(3)求该五面体的体积.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）

10 . 如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．

(1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，．
①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值；
②求三棱锥体积的最大值；
(2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理．