1 . 设非零向量，，并定义
(1)若，求；
(2)写出之间的等量关系，并证明；
(3)若，求证：集合是有限集.

2 . 如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形的三边长为，，，三个角大小为，，，球的半径为.

(1)求证：
(2)①求球面三角形的面积（用，，，表示）.
②证明：.

3 . 已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数．
(1)求证：是的生成函数；
(2)若是的生成函数，判断并证明的单调性；
(3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数．

4 . 阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：①如果，那么；②如果，那么.
(1)请运用上述公理①②证明：“如果，那么.”
(2)求证：

5 . 如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．

(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．

6 . 证明不等式：
(1)若，，，都是正数，求证：；
(2)若，，是非负实数，则；
(3)若，是非负实数，则；
(4)若，，则．

7 . 悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.

8 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.
例如，，求证：.
证明：原式.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.
例如：在的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：∵，∴，即，∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
（1）已知如，求下列各式的值：
①___________.
②___________.
（2）若，解方程.
（3）若正数a､b满足，求的最小值.

9 . 我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.

10 . 正四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，求证：的最小值为．