解题方法
1 . 已知函数 .
(1)用单调性定义证明:在上单调递增;
(2)若函数有3个零点,满足,且 .
①求证: ;
②求的值(表示不超过的最大整数).
(1)用单调性定义证明:在上单调递增;
(2)若函数有3个零点,满足,且 .
①求证: ;
②求的值(表示不超过的最大整数).
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2 . 已知幂的基本不等式:当,时,.请利用此基本不等式解决下列相关问题:
(1)当,时,求的取值范围;
(2)当,时,求证:;
(3)利用(2)证明对数函数的单调性:当时,对数函数在上是严格增函数.
(1)当,时,求的取值范围;
(2)当,时,求证:;
(3)利用(2)证明对数函数的单调性:当时,对数函数在上是严格增函数.
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3 . 在数学中,不给出具体解析式,只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”.我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质.对于抽象函数,当时,,且满足:,均有
(1)证明:在上单调递增;
(2)若函数满足上述函数的特征,求实数的取值范围;
(3)若,求证:对任意,都有.
(1)证明:在上单调递增;
(2)若函数满足上述函数的特征,求实数的取值范围;
(3)若,求证:对任意,都有.
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解题方法
4 . (1)已知,求证;
(2)利用(1)的结论,证明:(且).
(2)利用(1)的结论,证明:(且).
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5 . 已知为坐标原点,,.
(1)判断的形状,并给予证明;
(2)若,求证:、、三点共线;
(3)若是线段上靠近点的四等分点,求的坐标.
(1)判断的形状,并给予证明;
(2)若,求证:、、三点共线;
(3)若是线段上靠近点的四等分点,求的坐标.
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解题方法
6 . 如果
(1)求证:;
(2)若为三角形的三个内角,判断与的大小关系,并予以证明.
(1)求证:;
(2)若为三角形的三个内角,判断与的大小关系,并予以证明.
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解题方法
7 . 已知的值域为.
(1)求实数的值;
(2)判断函数在上的单调性,并给出证明;
(3)若,求证.
(1)求实数的值;
(2)判断函数在上的单调性,并给出证明;
(3)若,求证.
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8 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作,在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理,其内容为:在一个三角形中,三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段,与这个角的两邻边对应成比例.例如,在中(图1),为的平分线,则有.
(2)如图2,已知的重心为,内心为,若的连线.求证:.
(1)试证明角平分线定理;
(2)如图2,已知的重心为,内心为,若的连线.求证:.
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9 . 小明在学习矩形时发现:在矩形中,点是边上一点,过点作交边于点,若,则平分.他的证明思路是:利用矩形的性质得三角形全等,再利用边角转化使问题得以解决.请根据小明的思路完成以下作图与填空.
(1)用直尺和圆规,过点作的垂线交于点;(只保留作图痕迹)
(2)已知:如图,在矩形中,点是边上一点,过点作交边于点.求证:平分;
证明:四边形是矩形,
,
①_________________.
,
,
,
②_________________.
又,③_________________,
④_________________.
.
又,
,
.
⑤_________________,
.
.
平分.
(1)用直尺和圆规,过点作的垂线交于点;(只保留作图痕迹)
(2)已知:如图,在矩形中,点是边上一点,过点作交边于点.求证:平分;
证明:四边形是矩形,
,
①_________________.
,
,
,
②_________________.
又,③_________________,
④_________________.
.
又,
,
.
⑤_________________,
.
.
平分.
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10 . 已知:如图,等腰三角形中,,,直线经过点(点、都在直线的同侧),,,垂足分别为、.
(1)求证:;
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系,并证明.
(1)求证:;
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系,并证明.
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