1 .
(1)证明：存在唯一的零点，且
(2)若的零点记为，设，求证

2 . 数学课上，张老师给出这样一个问题：
已知，如图，正方形中，点是边上一点，作射线，过点作于点，交的延长线于点，连接．求证：．

(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和相等的角，即_________；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“”的启发，可在线段上截取，再证…．
小明：我受结论中“”的启发，可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展；如图2，点，分别是线段，的中点，若，，则的长度为_________．

3 . 给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线．

(1)请你用异面直线判定定理证明该结论；
(2)请你用反证法证明该结论．

4 . 阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：①如果，那么；②如果，那么.
(1)请运用上述公理①②证明：“如果，那么.”
(2)求证：

5 . （1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件；
（2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）；
（3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且.

6 . 定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:
(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；
(2)①求有序数组、、、的波动距离；
②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.

7 . 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点足够长．使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，             
求证：             

8 . 如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．

(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．

9 . 对于定义域为R的函数，如果存在常数T，，使得是以T为周期的函数，则称函数为正弦周期函数，且称常数T为的正弦周期.
已知函数满足以下四个条件：
①函数是以T为正弦周期的正弦周期函数；
②函数的值域为R；
③函数在区间上单调递增：
④，
(1)分别判断函数､是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数，写出它的正弦周期，（不需证明）.
(2)设，求证：对任意，存在唯一的使得.
(3)求证：对于任意的，都有.

10 . 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.

图

图

图

(1)若平行四边形平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；
(2)在图中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.