解题方法
1 . 设,.如果存在使得,那么就说可被整除(或整除),记做且称是的倍数,是的约数(也可称为除数、因数).不能被整除就记做.由整除的定义,不难得出整除的下面几条性质:①若,,则;②,互质,若,,则;③若,则,其中.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明:;
(2)若为奇数,求证:能被整除;
(3)对于整数与,,求证:可整除.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明:;
(2)若为奇数,求证:能被整除;
(3)对于整数与,,求证:可整除.
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解题方法
2 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
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3 . 设,是非空集合,定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若,则称是到的一个关系.当时,则称与是相关的,记作.已知非空集合上的关系是的一个子集,若满足,有,则称是自反的:若,有,则,则称是对称的;若,有,,则,则称是传递的.且同时满足以上三种关系时,则称是集合中的一个等价关系,记作~.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
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解题方法
4 . 如图所示数阵,第行共有个数,第m行的第1个数为,第2个数为,第个数为.规定:.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论;
(2)求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数;
(3)从第1行起,每一行最后一个数依次构成数列,设数列的前n项和为是否存在正整数k,使得对任意正整数n,恒成立?如存在,请求出k的最大值,如不存在,请说明理由.
(2)求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数;
(3)从第1行起,每一行最后一个数依次构成数列,设数列的前n项和为是否存在正整数k,使得对任意正整数n,恒成立?如存在,请求出k的最大值,如不存在,请说明理由.
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2024-05-14更新
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751次组卷
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2卷引用:江苏省苏锡常镇四市2024届高三教学情况调研(二)数学试题
5 . 已知动圆过定点且与直线相切,记圆心的轨迹为曲线.
(1)已知、两点的坐标分别为、,直线、的斜率分别为、,证明:;
(2)若点、是轨迹上的两个动点且,设线段的中点为,圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、,求证:的重心的横坐标为定值.
(1)已知、两点的坐标分别为、,直线、的斜率分别为、,证明:;
(2)若点、是轨迹上的两个动点且,设线段的中点为,圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、,求证:的重心的横坐标为定值.
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名校
6 . (1)在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中,第一步需要将五个关键点列表,请完成下表:
(2)设实数且,求证:;(可以使用公式:)
(3)证明:等式对任意实数恒成立的充要条件是
0 | |||||
0 | |||||
1 |
(3)证明:等式对任意实数恒成立的充要条件是
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名校
7 . 设a,b为非负整数,m为正整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为.
(1)求证:;
(2)若p是素数,n为不能被p整除的正整数,则,这个定理称之为费马小定理.应用费马小定理解决下列问题:
①证明:对于任意整数x都有;
②求方程的正整数解的个数.
(1)求证:;
(2)若p是素数,n为不能被p整除的正整数,则,这个定理称之为费马小定理.应用费马小定理解决下列问题:
①证明:对于任意整数x都有;
②求方程的正整数解的个数.
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2024-02-27更新
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760次组卷
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5卷引用:河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评(V)数学试题
河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评(V)数学试题河北省沧州市泊头市大数据联考2024届高三下学期2月月考数学试题河北省秦皇岛市昌黎县开学联考2024届高三下学期开学考试数学试题(已下线)压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式)讲(已下线)新题型02 新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总-2
名校
解题方法
8 . 已知双曲线G的中心为坐标原点,离心率为,左、右顶点分别为,.
(1)求的方程;
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点.
(i)证明:点在定直线上:
(ii)若直线与交于点,求证:.
(1)求的方程;
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点.
(i)证明:点在定直线上:
(ii)若直线与交于点,求证:.
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2024-04-17更新
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1141次组卷
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2卷引用:辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题
9 . 已知抛物线上任意一点满足的最小值为(为焦点).
(1)求的方程;
(2)过点的直线经过点且与物线交于两点,求证:;
(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点,过分别作抛物线的切线.两条切线交于点,过任意作一条直线交抛物线于,交直线于点,则满足什么关系?并证明.
(1)求的方程;
(2)过点的直线经过点且与物线交于两点,求证:;
(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点,过分别作抛物线的切线.两条切线交于点,过任意作一条直线交抛物线于,交直线于点,则满足什么关系?并证明.
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名校
10 . 在平面直角坐标系xoy中,已知 ,圆C:与x轴交于O ,B.
(1)证明:在x轴上存在异于点A的定点,使得对于圆C上任一点P,都有为定值;
(2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点,过(1)中的点作垂直于x轴的直线l,直线OM与l交于点N,直线AN与直线MB交于点R,求证:点R在椭圆上运动.
(1)证明:在x轴上存在异于点A的定点,使得对于圆C上任一点P,都有为定值;
(2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点,过(1)中的点作垂直于x轴的直线l,直线OM与l交于点N,直线AN与直线MB交于点R,求证:点R在椭圆上运动.
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