1 . 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.

2 . 已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，.
(1)求的方程；
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．
（i）证明：点在定直线上：
（ii）若直线与交于点，求证：．

3 . 已知抛物线上任意一点满足的最小值为（为焦点）.
(1)求的方程；
(2)过点的直线经过点且与物线交于两点，求证：；
(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明.

4 . 若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；
(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：

5 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；
(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．
（参考数据：）

6 . 已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数，其中.
（i）证明：对任意，；
（ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.

7 . 设函数定义域为．若整数满足，则称与“相关”于．
(1)设，，写出所有与“相关”于的整数；
(2)设满足：任取不同的整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于；
(3)是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由．

8 . 设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．

9 . 若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.

10 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在中（图1），为的平分线，则有.

   

(1)试证明角平分线定理；
(2)如图2，已知的重心为，内心为，若的连线.求证：.