1 . 定义在上的函数满足：若对任意的实数，有，则称为函数．
（1）判断和是否为函数，并说明理由；
（2）当时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程在区间上有且只有一个实数根；
（3）设为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有．

2 . 的外接圆与内切圆分别为、，为旁切圆．
1．证明：存在唯一圆，与内切、与外切，并且与内切于点A．
2．设圆与、的切点分别为P、Q．如果，求证：．

3 . 设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.

4 . （1）设x，y为正数，，证明；
（2）x，，，求证：对于任意正整数n，.

5 . 在钝角中，三个内角为A，B，C，满足．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若延长至D点，使得，且，求证：为定值．

6 . 若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2ⁿ}（n∈N^*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N^*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合，判断集合C是否是α集，证明你的结论．

7 . 在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x²=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.
（1）求证∶点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.

8 . 设是正整数，是素数，且整除，证明：整除．

9 . 设是次实系数多项式，其中．证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数．

10 . 甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.