1 . 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

   

(1)若直线与轴的交点为，求证：；
(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．

2 . 已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.
(1)证明：为定值（为坐标原点）；
(2)若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.

3 . 已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.
(1)若，写出的值；
(2)若存在满足：，求的最小值；
(3)当时，证明：对所有.

4 . 美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，且直线的倾斜角为，点到的距离为．
(1)求的方程；
(2)设直线与交于两点，是线段上一点（异于两点），是上一点，且轴．若平行四边形的三个顶点均在上，与交于点，证明：为定值．

6 . 若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分割这个多边形，则称这样的多边形为凸多边形，凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线．用表示凸边形对角线的条数．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求数列的前n项和，并证明．

7 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．

8 . 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

9 . 如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，．

(1)在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）
(2)在（1）的条件下求点到平面的距离．

10 . 已知动点P到直线的距离是P到点距离的2倍，点P的轨迹记为C．
(1)证明：存在点，使得为定值．
(2)过点F且斜率的直线l与C交于A，B两点，M，N为x轴上的两个动点，且，，若，求k．