1 . 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.

2 . 已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，.
(1)求的方程；
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．
（i）证明：点在定直线上：
（ii）若直线与交于点，求证：．

3 . 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．
(1)数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
(2)请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；
(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为；
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？

4 . 若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.

5 . 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.

(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.

6 . 已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)已知、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；
(2)若点、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．

7 . 已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)数列的前项和为，且；
（ⅰ）求；
（ⅱ）求证：．

8 . 在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为．
(1)求证：直线过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．
①当取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使为定值．

9 . 已知关于x方程在区间内有且只有一个解.
(1)求实数a的取值范围；
(2)如果函数，求证：在上存在极值点和零点；
(3)对于（2）中的和，证明：.

10 . 若函数满足，称为的不动点.
(1)求函数的不动点；
(2)设.求证：恰有一个不动点；
(3)证明：函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点.