1 . 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误．
(1)设为正整数，求证：．
证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有．
那么当时，就有
．因此，对于任何正整数等式都成立．
(2)设为正整数，求证：．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有，
那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立．
根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立．

2 . 用向量的方法证明勾股定理．

（变式）
证明：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：c²＝a²＋b².

3 . 求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（根据如图写出已知、求证并加以证明）．

4 . 我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.

5 . 已知直线上有两点，直线上有一点，若同垂直于，求证：直线与必为异面直线．

6 . 如图，在平面与平面上分别有不共线的三点、、与、、，假设、与交于一点，且，，．求证：平面平面．
   

7 . 已知曲线C： .
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．

8 . 已知点，，，求证：．

9 . 求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件．
提示：（1）以题目中的实数为坐标构造向量，，利用坐标计算出向量夹角的余弦再代入不等式；
（2）为什么？因为．柯西不等式左右两边之差．

10 . 如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与交于点P．求证：P是MN的中点．