1 . 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为（6,6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E.

(1)求点E的坐标；求抛物线的函数解析式；
(2)点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
(3)连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标.

2 . 设数列单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则称为数列的信息熵．
(1)已知存在正整数，满足，，2，…，，，
①求（用含的表达式表示）；
②证明：数列的信息熵小于2；
(2)请写出，，，四个表达式的大小关系，并说明理由．

4 . 如图，点在上，.

(1)求证：；
(2)作，延长交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下：
①已知，后面条件不全，征集中，联系人QQ:2853279698。

5 . 称代数系统为一个有限群，如果
1.为一个有限集合，为定义在上的运算(不必交换)，
2.
3.称为的单位元
4.，存在唯一元素使称为的逆元有限群，称为的子群.若，定义运算.
(1)设为有限群的子群，为中的元素. 求证:
(i)当且仅当；
(ii)与元素个数相同.
(2)设为任一质数.上的乘法定义为，其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群，求证:(其中表示个作运算)

7 . 设，均为整系数多项式，且.若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根.

8 . 正实数满足；实数满足，，定义函数，，试问，当满足什么条件时，存在使得定义在上的函数恰在两点处达到最小值？

9 . 设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为______．