1 . 求证：．

2 . 已知对任意成立，则不超过的最大整数是______．

3 . 设a、b、c为正数，且．对任意整数，证明：．

4 . 若对任意正实数恒成立，求实数的最大值.

5 . 如图，直线k过圆O的中心，直线，垂足为M，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线k上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点，试证：

(1)l与圆O相交时，；
(2)l与圆O相离时，；

7 . 已知函数，，
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

8 . 已知数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；
②对于中任意连续三项，均有．
(1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：
（i）有穷数列：；
（ⅱ）无穷数列：．
(2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；
(3)若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式．

9 . 已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，过点作直线与一条渐近线垂直，垂足为，与另一条渐近线相交于点，且都在轴右侧，
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的右支相切，切点为与直线交于点，试探究以线段为直径的圆是否过轴上的定点.

10 . 已知函数（）.
(1)试讨论的单调性；
(2)求使得在上恒成立的正整数的最小值；
(3)若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围.