解题方法
1 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1,三个内角都小于的内部有一点,连接,求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题,具体的做法如图2,将绕点顺时针旋转,得到,连接,则的长即为所求,此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现:已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.(1)已知平面内点,把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点,求点的坐标;
(2)在中,,借助研究成果,直接写出的最小值;
(3)已知点,求的费马点的坐标.
(2)在中,,借助研究成果,直接写出的最小值;
(3)已知点,求的费马点的坐标.
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2024高一下·上海·专题练习
解题方法
2 . 某校开展数学专题实践活动,要求就学校新建的体育馆进行研究,为了提高研究效率,小王和小李打算分工调查测量并绘图,完成两个任务的研究.
(1)小王获得了以下信息:
.教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道;
.在步道上有一点,测得到教学楼顶的仰角是,到体育馆楼顶的仰角是;
.从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是;
.教学楼的高度是20米.
请帮助小王完成任务一:求体育馆的高度.(2)小李获得了以下信息:
.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米;
.大屏幕的高度是2米;
.当观众所站的位置到屏幕上下两端,所张的角最大时,观看屏幕的效果最佳.
请帮助小李完成任务二:求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置.
(1)小王获得了以下信息:
.教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道;
.在步道上有一点,测得到教学楼顶的仰角是,到体育馆楼顶的仰角是;
.从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是;
.教学楼的高度是20米.
请帮助小王完成任务一:求体育馆的高度.(2)小李获得了以下信息:
.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米;
.大屏幕的高度是2米;
.当观众所站的位置到屏幕上下两端,所张的角最大时,观看屏幕的效果最佳.
请帮助小李完成任务二:求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置.
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解题方法
3 . 2023年起我国旅游按下重启键,寒冬有尽,春日可期,先后出现了“淄博烧烤”,“尔滨与小土豆”,“天水麻辣烫”等现象级爆款,之后各地文旅各出奇招,衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片:孔子,金庸,搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅,提升衢州经济,在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查,从饮食、住宿,交通,服务等方面调查旅客满意度,满意度采用百分制,统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图,图中.(1)求图中的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若有超过的人满意度在75分及以上,则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗?
(3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80,方差为75;6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90,方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
(2)若有超过的人满意度在75分及以上,则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗?
(3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80,方差为75;6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90,方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
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4 . 已知为坐标原点,函数图象与轴的一个交点为,与轴交于点,且,则______ .
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解题方法
5 . 如图,已知分别是三棱锥棱上的点.(1)若四边形为平行四边形,证明:面;
(2)若分别是的中点,且,直线和直线所成角为,求直线和直线所成角的余弦值.
(2)若分别是的中点,且,直线和直线所成角为,求直线和直线所成角的余弦值.
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名校
解题方法
6 . 下面四个命题中正确的是( )
A.对应的点在第二象限 |
B.若复数,满足,则 |
C.方程在复数集内有两解和 |
D.已知复数满足,则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 |
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名校
7 . 已知100个样本数据的平均值为14,标准差为4,其中,则这60个数据的方差为( )
A.12.16 | B.12.36 | C.13.16 | D.13.36 |
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名校
8 . 下列命题正确的有( )
①若一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行
②若一条直线在平面外,则该直线与此平面可能有公共点
③采用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图,则直观图的面积为
④长方体各个面所在的平面将空间分成27部分
①若一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行
②若一条直线在平面外,则该直线与此平面可能有公共点
③采用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图,则直观图的面积为
④长方体各个面所在的平面将空间分成27部分
A.0个 | B.1个 | C.2个 | D.3个 |
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解题方法
9 . 下列说法正确的是( )
A.已知复数满足,为虚数单位,则是方程的一个根 |
B.已知,,则 |
C.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 |
D. |
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解题方法
10 . 降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习,将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆,即找到一点,使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心,距离就是外接圆的半径.若这样的点存在,则这个多边形有外接圆,若这样的点不存在,则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道,三角形一定有外接圆,如果只求外接圆的半径,我们可通过正弦定理来求,我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2.的结论:三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题:若等腰梯形的上下底边长分别为6和8,高为1,这个等腰梯形的外接圆半径为__________ ;轴截面是旋转体的重要载体,圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素:高、母线长、底面圆的半径,通过研究其轴截面,可将空间问题转化为平面问题.观察图象,通过类比,我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法,正棱台可以看作由圆台切割得到.研究问题:如图,正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的体积为__________ .
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