1 . 如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体，现将它们的体积依次记为，.
   
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个，假设制作每个模型的外壳用料（即表面积）均等于，分别求出和的值；并猜想与的大小关系（猜想不需证明）
(2)多面体的欧拉定理：简单多面体的面数、棱数与顶点数满足：.已知正多面体都是简单多面体，设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并尝试据此说明正多面体仅有五种.

2 . 已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，，Q是底面圆O内一点，且，C是AS中点，D是点O在SQ上的射影．

(1)求证：面AQS；
(2)求三棱锥体积的最大值．

3 . 已知为椭圆上一点，且点在第一象限，过点且与椭圆相切的直线为.
   
(1)若的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值；
(2)如图，分别是椭圆的过原点的弦，过四点分别作椭圆的切线，四条切线围成四边形，若，求四边形周长的最大值.

4 . 证明：在个组合数、、、、中，当为偶数时，最大值是中间的一项；而当为奇数时，最大值是中间的两项和．

5 . 已知直线.
(1)若直线的斜率，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意实数，直线都经过一个确定的点.

6 . 设一个口袋中有4张形状相同的卡片，在这4张卡片上依次标有110，101，011，000．从这袋中任取一张卡片，用，表示事件：取到卡片第位上的数字为1．求证：事件，，是两两独立的，但不是互相独立的．

7 . 如图，在平面内，平面，平面，，，平面，平面．求证：．

8 . 证明：若AB是椭圆的一条弦，是弦AB的中点，则AB所在直线的斜率

9 . 尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题：
(1)设是同一样本空间中的两个事件，探索，，，之间的等量关系，并说明理由.
(2)甲、乙各抛郑枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于.

10 . 已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为．若在直线上，求证：在圆上．