1 . 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（     ）

A．

B．任取一个不为零的有理数对任意的恒成立

C．恒成立

D．存在三个点，使得为等腰直角三角形

2 . 下列命题中正确的是（       ）

A．点关于平面对称的点的坐标是

B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则

C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为

D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则

3 . 已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于.

(1)若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值.

4 . 古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，

(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；
(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．

5 . 平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（       ）

A．直线AB的一个方向向量为

B．线段AB的长度为3

C．平面α的法向量中

D．向量与向量夹角的余弦值为

6 . 在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架的高度，点是屋宽的五等分点，连接，在处下“折”安置第一榑，连接，在处下“折”安置第一榑，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑的高度为（       ）

      

A．

B．

C．

D．

7 . 随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.
(1)求第二天获得优惠金额的数学期望；
(2)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出.

8 . 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为，则∠ACB的大小为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论中正确的为（       ）

A．若，与相交于，则点不一定是的重心

B．若，则的最大值为

C．若，，则的长为

D．若，则当时，取得最大值

10 . 下面是小明对一道题目的解答．
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积．

解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为．
根据切线长定理，得，，．
根据勾股定理，得．
整理，得．
所以．
小明发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮他完成下面的探索．已知：的内切圆与相切于点，，，可以一般化吗？
(1)若，求证：的面积等于．倒过来思考呢？
(2)若，求证：,改变一下条件……
(3)若，用、表示的面积．