1 . 甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为．
(1)求的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率．
(3)记．
（i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式．
（ii）求的分布列及数学期望．（用表示）

2 . 斐波那契时钟是一种基于斐波那契数列设计的特殊时钟．钟面上是5个正方形方块，每个方块对应的数值分别是斐波那契数列里的前5个数：，方块的数值固定，颜色可变化，可呈现红色、蓝色、绿色、白色．人们根据方块对应的数值和颜色计算时间，规则如下：小时数红色方块数值蓝色方块数值；分钟数（绿色方块数值蓝色方块数值）；呈现白色时忽略．如图表示时间为，则当表示时间为时，数值为5的方块为白色的概率为______．

3 . 如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展．以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示．

Sora的应用情况	视频从业人员		合计
	减少	未减少
应用	70		75
没有应用		15
合计	100		120

(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora．
（ⅰ）求员工经过培训能应用Sora的概率．
（ⅱ）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：，其中．

	0.010	0.005	0.001
	6.635	7.879	10.828

6 . 在某短视频平台，某短视频发布者在最近一周内“粉丝”的增长数量绘制成如下折线图，则本周内“粉丝”增长数的中位数是（       ）

A．26

B．35

C．36.5

D．37

7 . ________

8 . 我国中学生的近视率一直是社会关注的焦点．某市疾控中心为调查该市高中生的视力状况，从某高中3000名学生中随机抽取了100名学生用五分记录法统计了其裸眼视力，得到如图1所示的频率分布直方图：

为改善学生的视力状况，该校积极落实学生近视防控工作，建立视力监测制度，几年后，再次抽取100名学生，用五分记录法统计其裸眼视力，得到如下频数分布表：

裸眼视力
人数	5	20	60	15

(1)若裸眼视力位于为轻度近视，用样本估计总体，用频率估计概率，估计近视防控工作开展前全校患轻度近视的学生人数；
(2)在图2中作出近视防控工作开展后100名学生裸眼视力的频率分布直方图；

(3)估计近视防控工作开展后该校学生裸眼视力比开展前学生裸眼视力的平均值提高了多少（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

9 . 2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知直线和椭圆．
(1)证明：与恒有两个交点；
(2)若为与的两个交点，过原点且垂直于的直线交于两点，求的最小值．