1 . 初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量，幂和对称多项式，且；初等对称多项式表示在中选出个变量进行相乘再相加，且.例如：对.已知三次函数有3个零点，且.记，.
(1)证明：；
(2)（i）证明：；
（ii）证明：，且；
(3)若，求.

2 . 已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切.
(1)若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程；
(2)若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

3 . 如图，为圆锥的轴截面，点为圆上与不重合的点.

   

(1)在线段上找一点，使平面平面，并证明你的结论；
(2)若平面，点在平面的两侧，，求平面与平面夹角的余弦值.

4 . 2023年10月国家发改委､工信部等部门联合印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》，该计划将推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，并将带动竹产业新一轮的增长.下表为2019年—2023年中国竹产业产值规模（单位：千亿元），其中2019年—2023年的年份代码依次为.

	1	2	3	4	5
	2.89	3.22	3.82	4.34	5.41

(1)记第年与年中国竹产业产值规模差值的2倍的整数部分分别为，从中任取2个数相乘，记乘积为，求的分布列与期望；
(2)根据以上数据及相关系数，判断能否用线性回归模型拟合中国竹产业产值规模与年份之间的关系.
参考数据：，，，
相关系数若，则认为与有较强的相关性.

5 . 已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标．

6 . 为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学，得到如下的样本数据的频率分布直方图．

(1)求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；
(2)用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．

7 . 在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，点，分别在轴和轴上运动，点关于的对称点为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，，求直线，的斜率之和.

8 . （1）设，，比较，的大小；
（2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：.

9 . 命题：，有；命题：存在一个偶数能被3整除.
(1)写出的否定；
(2)写出的否定.

10 . 2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
(1)求甲，乙都通过考试的概率;
(2)记事件“甲、乙共答对两道题”，求．