1 . 如图，为的直径上的一个动点，点在上，连接，过点作的垂线交于点.已知，设两点间的距离为两点间的距离为．某同学根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究.

下面是该同学的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量及分析，得到了与的几组值，如下表：

	0	1		2.5	3	3.5	4	5
	4.0	4.7	5.0	4.8		4.1	3.7

（说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）
(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度约为____________cm．

2 . 在中，为的中点，分别为上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

(1)如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
(2)如图2，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
(3)如图3，为线段上一动点，为的中点，连接为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．

3 . 代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为．

(1)证明：；
(2)求角的大小；
(3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：．

4 . 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且．
(1)当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；
(2)用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则．
（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求；
（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值．

5 . 对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．

6 . 三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”，“布”，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例如，当一个人出“布”，另两个人出“石头”时，只用一回正好决定胜利者;当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的人，三人猜拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为止.
(1)求一次猜拳决出胜利者的概率；
(2)求在第回猜拳决出胜利者的概率.

7 . 设为1，2，3，…，n的一个排列，若该排列中有且仅有一个i满足，则称该排列满足性质T．对任意正整数n，记为满足性质T的排列的个数．
(1)求的值；
(2)若，求满足性质T的所有排列的情形；
(3)求数列的通项公式．

8 . 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式就是最简单的平均值不等式.一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为（注：），几何平均值记为亦（注：），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：，即，当且仅当时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式.
(1)已知，求的最小值；
(2)已知正项数列，前n项和为.
（i）当时，求证：；
（ii）求证：.

9 . 已知的两个顶点，，点G为的重心，边上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)若点P是曲线E上的任意一点，，，，，直线PC，PD与x轴分别交于点M，N．
①求的最大值；
②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值．

10 . 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.