1 . （必修3）袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个.规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分；在抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.
（1）求甲、乙成平局的概率；
（2）如果可以选择先后取球的顺序，你会先取还是后取，为什么？

3 . 2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，再问苍穹，神舟十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示：

	航天达人	非航天达人	合计
男	80	40	120
女	30	50	80
合计	110	90	200

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？
(2)①从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天达人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天达人的女生”.试计算和的值，并比较它们的大小.
②由①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由.
参考公式及数据，.

	0.10	0.05	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

5 . 2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：

	喜欢雪上运动	不喜欢雪上运动	合计
男生	80	40
女生	30	50
合计

(1)完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
(2)①从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件“至少有2名是男生”，事件“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件“至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算和的值，并比较它们的大小．
②①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
参考公式及数据，．

	0.10	0.05	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

6 . 某次有奖竞猜活动设有、两组相互独立的问题，答对问题可赢得奖金3000元，答对问题可赢得奖金6000元．规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题，假设你答对问题、的概率依次为．
（Ⅰ）若你按先后的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望；
（Ⅱ）你认为获得奖金期望的大小与答题顺序有关吗？证明你的结论．

7 . 已知，.
（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.

8 . 已知称为，的二维平方平均数，称为，的二维算术平均数，称为，的二维几何平均数，称为，的二维调和平均数，其中，均为正数.
（1）试判断与的大小，并证明你的猜想.
（2）令，，试判断与的大小，并证明你的猜想.
（3）令，，，试判断、、三者之间的大小关系，并证明你的猜想.

9 . 如图，在直三棱柱中，平面侧面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．

10 . 已知，.
（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.