1 . 对于在区间
上有意义的两个函数
与
，如果对任意的
，均有
，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的．现在有两个函数
与
，现给定区间
．
（1）若
，判断与是否在给定区间上接近；
（2）若与在给定区间上都有意义，求
的取值的集合
；
（3）在（2）的条件下，是否存在
，使得与在给定区间上是接近的；若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的．现在有两个函数与，现给定区间．（1）若
，判断与是否在给定区间上接近；（2）若
与在给定区间上都有意义，求的取值的集合；（3）在（2）的条件下，是否存在
，使得与在给定区间上是接近的；若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
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2 . 一种作图工具如图1所示．
是滑槽
的中点，短杆
可绕
转动，长杆
通过
处铰链与连接，上的栓子
可沿滑槽AB滑动，且
，
．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），
处的笔尖画出的曲线记为
．以为原点，所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线
与两定直线
和
分别交于
两点．若直线总与曲线
有且只有一个公共点，试探究：
的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线
与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
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2016-12-03更新
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4658次组卷
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15卷引用：2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷）
2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷）2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷）（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题北京市北京一零一中学2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试题北京市101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试题（已下线）专题29 圆锥曲线的综合问题-十年（2011-2020）高考真题数学分项安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题（已下线）专题22 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（讲）-2021年高三数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线） 专题26 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（讲）-2021年高三数学二轮复习讲练测（文理通用）（已下线）专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题贵州省遵义市南白中学2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题（已下线）专题24 解析几何解答题（文科）-4（已下线）专题24 解析几何解答题（理科）-3专题36平面解析几何解答题(第一部分)专题37平面解析几何解答题(第一部分)
3 . 已知定理：“若
为常数，满足
，则函数
的图象关于点
中心对称”．设函数
，定义域为A．
（1）试证明
的图象关于点
成中心对称；
（2）当
时，求证：
；
（3）对于给定的
，设计构造过程：
，…，
．如果
，构造过程将继续下去；如果
，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．
为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．（1）试证明
的图象关于点成中心对称；（2）当
时，求证：；（3）对于给定的
，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．
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2016-12-03更新
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702次组卷
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3卷引用：2015届江苏省如东高中高三上学期第9周周练理科数学试卷
2015届江苏省如东高中高三上学期第9周周练理科数学试卷人教A版(2019) 必修第一册 突围者 第三章 综合拓展（已下线）第五章 函数概念与性质（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（苏教版2019必修第一册）
名校
解题方法
4 . 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为
（米/单位时间）,单位时间内用氧量为
（
为正常数）;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为
（米/单位时间）, 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为
.
（1）将表示为的函数;
（2）设0<≤5,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.
（米/单位时间）,单位时间内用氧量为（为正常数）;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为（米/单位时间）, 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.（1）将
表示为的函数;（2）设0<
≤5,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.
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2016-12-03更新
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591次组卷
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2卷引用：2015届江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷
13-14高一下·广东揭阳·期中
名校
5 . 已知定义域为
的函数同时满足以下三个条件：
（1） 对任意的
，总有
；（2）
；（3） 若
，
，且
，则有
成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题：
（1）若已知为“友谊函数”，求
的值；
（2）函数
在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.
（3）已知为“友谊函数”，假定存在
，使得
且
， 求证：
.
的函数同时满足以下三个条件：（1） 对任意的
，总有；（2）；（3） 若，，且，则有成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题：（1）若已知
为“友谊函数”，求的值；（2）函数
在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.（3）已知
为“友谊函数”，假定存在，使得且， 求证：.
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2016-12-03更新
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1861次组卷
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3卷引用：2013-2014学年广东省揭阳一中高一下学期期中学业水平测试数学试卷
（已下线）2013-2014学年广东省揭阳一中高一下学期期中学业水平测试数学试卷湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题湖北省武汉为明学校2019-2020学年高一上学期第一次阶段考试数学试题
2012·广东汕头·二模
6 .
已知函数
其中常数
(Ⅰ)当
时，求函数的单调递增区间；
(Ⅱ) 当
时，若函数
有三个不同的零点，求m的取值范围；
（Ⅲ）设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，请你探究当时，函数是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．
已知函数
其中常数(Ⅰ)当
时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ) 当
时，若函数有三个不同的零点，求m的取值范围；（Ⅲ）设定义在D上的函数
在点处的切线方程为当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，请你探究当时，函数是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．
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2016-12-02更新
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468次组卷
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4卷引用：2012届广东省汕头市高三第二次模拟考试理科数学试卷
（已下线）2012届广东省汕头市高三第二次模拟考试理科数学试卷（已下线）2013届湖北省仙桃市沔州中学高三第二次月考理科数学试卷江西省赣州市上高二中2018届高三上学期第三次月考数学（理）试题辽宁省沈阳市郊联体2018届高三上学期期末考试理数试题
11-12高三上·河南焦作·期末
7 . 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
(1)求证：AD//EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD的长．
(1)求证：AD//EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD的长．
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2016-12-01更新
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286次组卷
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5卷引用：2011届河南省焦作市高三第一学期期末考试数学文卷
（已下线）2011届河南省焦作市高三第一学期期末考试数学文卷（已下线）2012届河南省中原六校高三第一次联考理科数学试卷2015届黑龙江省哈尔滨六中高三下学期第四次模拟理科数学试卷2015届黑龙江省哈尔滨六中高三下学期第四次模拟文科数学试卷2016届黑龙江省大庆一中高三下学期开学考试理科数学试卷
12-13高一上·福建泉州·期末
名校
8 . 定义在
上的函数
，如果满足；对任意
，存在常数
，都有
成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数
.
（Ⅰ）当
时，求函数在
上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若是
上的有界函数，且的上界为3，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若
，求函数
在
上的上界
的取值范围.
上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（Ⅰ）当
时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若
是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围；（Ⅲ）若
，求函数在上的上界的取值范围.
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2016-12-01更新
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1418次组卷
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4卷引用：2011-2012学年福建省安溪一中、养正中学高一上学期期末考试数学
（已下线）2011-2012学年福建省安溪一中、养正中学高一上学期期末考试数学上海市七宝中学2017-2018学年高一下学期开学考试数学试题四川省德阳市什邡中学2018-2019学年高一下学期4月月考数学试题辽宁省大连市滨城高中联盟2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
9 . 在数1和100之间插入
个实数，使得这
个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作
，再令
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
.
个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）设
，求数列的前项和.
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2016-11-30更新
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3433次组卷
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11卷引用：2011年安徽省普通高等学校招生统一考试文科数学
2011年安徽省普通高等学校招生统一考试文科数学2011年普通高中招生考试安徽省市高考理科数学2015-2016学年山东省枣庄市三中高二10月学情调查数学试卷上海市实验学校2015-2016学年高一下学期期末数学试题（已下线）题型06 等比数列通项公式、前n项和公式运算技巧-2020届秒杀高考数学题型之数列（已下线）题型08 等差数列、等比数列综合问题-2020届秒杀高考数学题型之数列（已下线）题型07 等比数列前n项和构造新等比数列-2020届秒杀高考数学题型之数列（已下线）专题19 数列的求和问题-十年（2011-2020）高考真题数学分项安徽省池州市青阳县第一中学2021-2022学年高二下学期5月月考数学试题安徽省滁州市定远县第二中学2022届高三下学期高考模拟检测文科数学试题安徽省安庆市怀宁县高河中学2024届高三上学期12月月考数学试题
10 . 已知
，
或1，
，对于
，
表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令
，存在m个
，使得
，写出m的值；
（Ⅱ）令
，若，求证：
；
（Ⅲ）令
，若
，求所有之和．
，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令
，存在m个，使得，写出m的值；（Ⅱ）令
，若，求证：；（Ⅲ）令
，若，求所有之和．
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2016-11-30更新
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772次组卷
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6卷引用：2011届北京市丰台区高三下学期统一练习数学理卷
（已下线）2011届北京市丰台区高三下学期统一练习数学理卷（已下线）2013届中国人民大学附属中学高考冲刺五理科数学试卷2015届北京市第四中学高三上学期期中考试理科数学试卷北京市京源学校2017-2018学年高三十月月考数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高一上学期开学考试数学试题（已下线）第6章 计数原理（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）
