1 . 把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．
(1)若是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和；
(2)若是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T．
①证明：；
②求T的最大值．

2 . 调研数据显示，有超过七成的消费者对新能源汽车较为看好，目前中国消费者对新能源汽车的系别选择以国产车为主．已知2024年第一季度，在某地上牌照的新能源汽车中，国产车占比70%，上牌照的国产新能源汽车中，甲品牌与乙品牌的占比分别为40%，20%．
(1)从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取2辆，求抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率；
(2)已知该地上牌照的新能源车中，外国产新能源汽车中价位不超过30万元的占比为20%，在国产新能源汽车中，甲品牌、乙品牌与其他品牌车价位不超过30万元的占比分别为40%，30%，50%，从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超过30万元，求该车是甲品牌车的概率．

3 . 已知，其中．
(1)当，时，
①任意写出的一条对称轴；
②求证：；
(2)若对任意，，求所能取到的最小值和最大值，并说明理由．

4 . 已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．

5 . 已知实数x，y满足方程．
(1)求的值；
(2)设与是方程组两组不同的解，其中．求证：．

6 . 已知二项式，且满足．
(1)求值，并求二项式系数最大的项；
(2)求二项展开式中含项的系数；
(3)请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）

7 . 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，.
(1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值；
(3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得.

8 . 定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）.
定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）.
定义3:对于一个数集，如果满足下列关系:
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合，证明:集合是一个数域.

9 . 为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错不得分. 假设甲队每人答题正确的概率均为，乙队三人答题正确的概率分别.
(1)若决赛中三轮总得分大于70分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率;
(2)因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率.

10 . 当且时，对一切，恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究．
(1)若正数，满足，当时，求的值；
(2)除整数对，请再举出一个整数对满足；
(3)证明：当时，只有一对正整数对使得等式成立．