1 . 三角比内容丰富，公式很多.若仔细观察，大胆猜想，科学求证，你能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：及；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜想出一个一般性结论，并证明你的结论.

2 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；
（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.

3 . 设数列的首项，，，，，．
（Ⅰ）若，写出，，的值．
（Ⅱ）求证：是等比数列，并求的通项公式．
（Ⅲ）设，证明，其中为正整数．

4 . 对于数列，设表示数列前项，，，中的最大项．数列满足：．
(1)若，求的前项和．
(2)设数列为等差数列，证明：或者（为常数），，，，．
(3)设数列为等差数列，公差为，且．
记，
求证：数列是等差数列．

5 . 如图，正方体中，分别为的中点.
（1）求证:平面⊥平面；
（2）当点在上运动时，是否都有平面，证明你的结论；
（3）若是的中点，试判断与平面是否垂直？请说明理由.

6 . 已知集合，.
（1）求证：；
（2）是周期函数，据此猜想中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；
（3）是奇函数，据此猜想中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.

7 . 已知数列中，，（），.
（1）证明：数列为等差数列，并求出数列通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

8 . 如图，正方体中，分别为的中点.
(1)求证:平面⊥平面；
(2)当点在棱上运动时，是否都有∥平面，证明你的结论；
(3)若是的中点，求与所成的角的余弦值.

9 . 已知数列满足．
(1)若数列是常数列，求的值；
(2)当时，求证：；
(3)求最大的正数，使得对一切整数恒成立，并证明你的结论．

10 . 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，、、分别是棱、、的中点.

（1）证明：直线平面；
（2）求证：面面.