解题方法
1 . 交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设
是直线
上互异且非无穷远的四点，称
（分式中各项均为有向线段，如
）为的交比，记为
．
(1)求证：
；
(2)若
为平面上过
且互异的四条直线，
为不过点且互异的两条直线，
与的交点分别为
，
与的交点分别为
，证明：
.
是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为．(1)求证：
；(2)若
为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：.
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2 . “让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立.
(1)证明：当
，时，不等式
成立，并指明取等号的条件；
(2)已知
，…，
（
）是大于
的实数（全部同号），证明：
(3)求证：
.
，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.(1)证明：当
，时，不等式成立，并指明取等号的条件；(2)已知
，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：(3)求证：
.
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2024-05-30更新
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437次组卷
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3卷引用：2024年海南省海口实验中学高一学科竞赛选拔性考试(自主招生)数学试题
3 . 设
是三个正数，求证：
.
是三个正数，求证：.
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名校
4 . 如图所示，
是圆
的直径，
是圆上一点，以为切点的切线交线段的延长线于点，作
于
于
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
的长.
是圆的直径，是圆上一点，以为切点的切线交线段的延长线于点，作于于. (1)求证：
；(2)若
，求的长.
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名校
解题方法
5 . 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
底面，
，
分别为线段
的中点.
；
(2)证明：
平面
；
(3)若
，
，记
与平面所成角为
，求
的最大值.
中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.
；(2)证明：
平面；(3)若
，，记与平面所成角为，求的最大值.
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2024-09-15更新
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276次组卷
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2卷引用：安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期竞赛培训与实验班训练试题（一）
6 . 如图，在平面直角坐标系
中，已知抛物线：
.在
：
上，记G的几何中心为点
，则当
取得最大值时，求点的坐标.
(2)已知动点、
在C上，分别过、作抛物线的切线
、
，设和相交于点T，若点T恒在直线：
上，求证：直线
经过定点.
(3)将绕原点顺时针旋转90°得到
，给定点
，上有四点、、
、
，满足
，
、
均三点共线，且、都在x轴上方，设线段
和
的中点分别为T、S，试判断：直线
是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
中，已知抛物线：.
在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标.(2)已知动点
、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点.(3)将
绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
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7 . 已知
为等差数列，
为等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)记的前
项和为
，求证：
(3)对任意的正整数，设
，求数列
的前
项和．
为等差数列，为等比数列，(1)求
和的通项公式；(2)记
的前项和为，求证：(3)对任意的正整数
，设，求数列的前项和．
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8 . 如图，
外切于点 ，过点 的直线交 
于另一点 
，交 
于另一点 
切 于点 ，在 
的延长线上取一点 
，使得 
，连接 
交 于 
，求证: 
与 相切.
外切于点 ，过点 的直线交 于另一点 ，交 于另一点 切 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 交 于 ，求证: 与 相切.
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解题方法
9 . 已知数列 满足:
，
，
.求证:
.
满足:，，.求证:.
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10 . 已知
为正实数，若曲线
与椭圆
交于
两个不同的点，求证：直线的斜率
．
为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率．
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