1 . 在三棱锥中，和是边长为 的等边三角形，，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证:平面；
（3）求三棱锥的体积.

2 . 三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且.

(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.

3 . 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相重直，是等腰直角三角形，，，.

（1）求证：平面；
（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；
（3）求二面角的平面角的正切值.

4 . 如图：平面，是矩形，，，点是的中点，点在边上移动.

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点在边的何处，都有.

5 . 如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,,,是中点,为的中点,点在侧棱上(不包括端点).

(1)求证：
(2)是否存在点,使与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

6 . 如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面、E为的中点，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

7 . 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，是棱的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值.

8 . 四棱锥中，底面为矩形，底面，，，分别为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．

9 . 在正方体中,为的中点,为四边形的中心．求证：对上任一点,都有．

10 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，，面， 是线段上的动点，是的中点.

（1）证明：；
（2）若且直线与所成的角是，求出的长，并求三棱锥的体积．