1 . 某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：

编号	项目	收案（件）	结案（件）
				判决（件）
1	刑事案件	2400	2400	2400
2	婚姻家庭、继承纠纷案件	3000	2900	1200
3	权属、侵权纠纷案件	4100	4000	2000
4	合同纠纷案件	14000	13000	n

其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．
（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；
（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；
（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为s₁²，如果表中n，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为s₂²，试判断s₁²与s₂²的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．

2 . 足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：

（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为，求；

点球数	20	30	30	25	20	25
进球数	10	17	20	16	13	14

（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第次触球者，第n次触球者是甲的概率记为.
（i）求，，（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列.

3 . 有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为.   
（1）求，，，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率.

4 . 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：

分组	[1,3)	[3,5)	[5,7)	[7,9)	[9,11)
频数	10	15	45	20	10

（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数(每组数据取区间的中点值)，近似为样本方差.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；
（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y.
①证明：为等比数列；
②求Y的数学期望.(精确到0.001)
参考数据：.若随机变量则.

5 . 为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：

组
组
组

假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙．
（1）求丙的高度小于厘米的概率；
（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明）

6 . 已知，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

7 . （1）证明：；
（2）计算：；
（3）计算：.

8 . 2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 正态分布的称为标准正态分布，通过查找标准正态分布表（见附表）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率，在这个表中，相应于的的值中的是指总体取值小于x₀的概率，即（见图）：使用时，在标准正态分布表中的第一列查到的整数位与小数点后第一位，然后在第一行查到的小数点后第二位，即可确定中，例如：.可以证明，对任何一个正态分布来说，通过转化成标准正态分布，且有，下列选项正确的是（       ）
附表：标准正态分布表

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7459
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

A．

B．

C．若，则

D．若，则

10 . 已知.
(1)求；
(2)证明：.